a: a^3-a=a(a^2-1)

=a(a-1)(a+1)

Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp

nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6

=>a^3-a chia hết cho 6

P - 3abc = (a+b)(b+c)(a+c)+abc - 3abc

= (a+b+c-c)(b+c)(a+c) - 2abc

= (a+b+c)(b+c)(a+c) - c(b+c)(a+c) - 2abc

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c(ab + bc +ac +c²) - 2abc

= (a+b+c)(b+c)(a+c) - c( ab +bc + ac +c²+ 2ab)

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c[(bc+c²+ac) + 3ab]

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c[c(b+c+a) + 3ab]

= (a+b+c)(b+c)(c+a) - c²(a+b+c) - 3abc

Ta có: a + b + c chia hết cho 6

⇒mà 6 ⋮ 2

⇒ a+b+c chia hết cho 2

⇒ a+b+c là số chẵn

⇒ trong 3 số a, b, c phải có ít nhất một số chẳn
⇒ abc ⋮ 2

⇒ 3abc ⋮ 6

mà a+b+c chia hết cho 6

⇒ (a+b+c)(b+c)(c+a) chia hết cho 6

c²(a+b+c) chia hết cho 6

⇒ (a+b+c)(b+c)(c+a) - c²(a+b+c) - 3abc chia hết cho 6

Vậy P - 3abc chia hết cho 6.

Ta có : a - 13b = a - b - 12b

                        = (a - b) -12b

Mà \(\hept{\begin{cases}a-b\\12b\end{cases}}\)

đều chia hết cho 6

Nên a-b-12b chia hết cho 6 

Hay a-13b chia hết cho 6

Vậy a-13b chia hết cho 6 ( đpcm)

Vì a-b chia hết cho 6 

nên (a-b)-12 chia hết cho 6

=>> a+13b chia hết cho 6

Vì a-b chia hết cho 6 

nên (a-bchia hết cho 6 

=>> a+5a chia hết cho 6

Vì a-b chia hết cho 6 nên 5(a-b)=5a-5b chia hết cho 6.

Mà 6b chia hết cho 6 với mọi số nguyên b.

Do vậy 5a-5b-6b chia hết cho 6 => 5a - 11b chia hết cho 6 (đpcm).

a) \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Vì \(n;n+1;n-1\)là 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)chia hết cho 6

Hay \(a^3-a\)chia hết cho 6 (với mọi \(a\in Z\))

b) \(ab.\left(a^2-b^2\right)\)

Nếu a hoặc b chia hết cho 6 \(\Rightarrow ab.\left(a^2-b^2\right)\)chia hết cho 6

Nếu  a và b không chia hết cho 6 mà \(a^2\)chia 6 dư 1(2;3;4;5....) và \(b^2\)chia 6 dư 1(2;3;4;5...) 

\(\Rightarrow a^2-b^2\)chia 6 dư 1 (2;3;4;5...)  - 1 (2;3;4;5...) = 0

thì \(ab.\left(a^2-b^2\right)\)chia hết cho 6.

a: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Vì a;a-1;a+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3!\)

hay \(a^3-a⋮6\)

b: \(ab\left(a^2-b^2\right)=a^3b-ab^3\)

\(=a^3b-ab+ab-ab^3\)

\(=b\left(a^3-a\right)+a\left(b-b^3\right)\)

Vì \(a^3-a⋮6\)

và \(b-b^3=-\left(b^3-b\right)⋮6\)

nên \(ab\left(a^2-b^2\right)⋮6\)